Запятая ставится после кавычек. Подробнее об оформлении прямой речи см. здесь.
Нужно согласовать в женском роде со словом вершина (одна из вершин).
Литературная норма: ску[шн]ый. См. также ответ на вопрос № 280260.
Возможно единственное и множественное число сказуемого. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Правильно: вглубь острова, вглубь Арктики. Ср.: в глубь океана (=в глубину).
Правильно: У нас хороший директор – Сокова. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Рекомендации справочников по этому поводу разнятся. Подробно см. в ответе 271037.
Эта фамилия склоняется. Правила склонения фамилий см. в разделе «Азбучные истины».
Современная орфографическая норма: Ильичом. См. в «Словаре трудностей»: Ильичом.
Запятая не требуется. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".