В кратких формах муж. рода сочетание нн не пишется. В форме ценен две н сохраняется (одна относится к корню, вторая к суффиксу, как и в формах ценный, ценна и др.), но в суффиксе появляется беглый гласный. Ср. с другими случаями появления беглого гласного между нн в разных морфемах: бездонный – бездонен, женственный – женственен, искренний – искренен, дискуссионный – дискуссионен. Беглый гласный может не появляться, тогда одна н усекается, например: безнаказанный – безнаказан (ср. безнаказанна), безветренный – безветрен (ср. безветренна). У ряда слов употребляются варианты формы муж. рода, например: безнравственный – безнравствен и безнравственен; благословенный – благословен и благословенен. 

Запятая после ведь не требуется.

Современные нормативные словари в большинстве своем указывают, что слово кофе, употребляемое как существительное среднего рода (моё горячее кофе), стилистически не нейтрально, эта форма сопровождается пометой разг. (разговорное). При этом кофе — едва ли не единственное несклоняемое заимствование на -е (из тех, что не не обозначают живых существ), которое принадлежит мужскому роду, так что переход этого слова в средний род практически неизбежен. Кроме того, даже в ХIХ веке употребление слова кофе как существительного среднего рода не было такой уж редкостью. См., например: ...молодой моряк очень рассеянно отвечал на вопросы и шутки хозяина; но, к счастью, тот, прихлебывая звездистое кофе, дымя трубкою и пробегая листок купеческой газеты, мало обращал внимания на все, что не носило на себе вида нумерации [А. А. Бестужев-Марлинский. Лейтенант Белозор (1830)]; Появилось кофе в серебряном кофейнике, а за ним вышла красивая мамка в голубом кокошнике с маленьким Вадимом на руках [Д. Н. Мамин-Сибиряк. Приваловские миллионы (1883)].

Да, эти фразы вполне корректны.

Пояснительные согласованные определения не выделяются, а лишь отделяются от поясняемого определения запятой. ("Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник" под ред. В. В. Лопатина)

В случае если подчеркивается отрицание, не правда следует писать раздельно как в вопросительных, так и в повествовательных предложениях.

Что касается второго примера, то в нем выражается утверждение признака, поэтому неправда пишется слитно. В данном случае нельзя руководствоваться только формальным строением предложения (наличием слова разве). Как сказано в академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина, пишущий должен отдавать себе отчет в том, что он хочет выразить: отрицание признака или утверждение признака. От выбора написания будет зависеть и понимание написанного читающими.