Первая часть сложных слов интернет-... пишется с маленькой буквы: интернет-ресурс.
Корректно: от безделья.
Оба варианта корректны.
Верно: незамощённая улица.
Склоняется только последняя часть: джек-рассел-терьера, джек-рассел-терьеру и т. д.
И так и так неверно. Корректно: безнадёжность.
Вы написали верно, с дефисом.
Если женская фамилия Ивашина корреспондирует с мужской фамилией Ивашин, то она склоняется так: Ивашиной, Ивашину, об Ивашиной. Если же эта фамилия корреспондирует с мужской фамилией Ивашина, то обе фамилии (мужская и женская) склоняются так: Ивашины, Ивашине, Ивашину, Ивашиной, об Ивашине.
Если речь идет о конкретном заявлении, о верно: Она не писала заявление.
Если говорится о каком-то заявлении вообще, то верно: Она не писала заявления.
