В «Большом словаре русских поговорок» В. М. Мокиенко и Т. Г. Никитиной (М: Олма Медиа Групп, 2007) зафиксировано выражение ни хаты ни лопаты (у кого. Волг. Шутл.-ирон. О крайней бедности). Вероятно, выражение ни хаты ни ваты, о котором Вы упоминаете, является одним из поздних вариантов (заимствование вата появилось в русском языке только в XVIII в.).

Как и тридцать лет назад, сейчас кофе может употребляться как существительное мужского рода и как существительное среднего рода. Эти варианты по-прежнему неравноправны: мужской род – строгая литературная норма (в образцовой речи), средний род – допустимое разговорное употребление (но не ошибка). Современные словари русского языка, как правило, указывают: кофе, м. и (разг.) с. Но могут и ограничиться указанием строгой нормы (особенно если это издания, адресованные работникам эфира).

Нормы языка фиксируются словарями, а словари составляют лингвисты, одна из задач которых – наблюдать за развитием языка и фиксировать происходящие в нем изменения. Особой «инстанции, ведающей чистотой русского языка» не существует, хотя в каком-то смысле такой инстанцией можно считать Институт русского языка им. В. В. Виноградова РАН, в задачи которого входит кодификация норм литературного языка в нормативных словарях, грамматиках, справочниках по культуре речи. Но академические словарные проекты выполняются и в других учреждениях, в том числе в Институте лингвистических исследований РАН, выпускающем многотомный Большой академический словарь русского языка – самый значительный по объему нормативной лексики словарь русского языка.

Это разные предложения, удобно написать второе с красной строки, чтобы легче было прочитать ответ.

1. Аббревиатура в данном случае заключается в кавычки, так же как нужно было бы заключить в кавычки полное название: театр-студия "КИТ".

2. Нет, не нужно.

3. Формально - не является.

Верно: Сколько бы ты раз ни был в Риме, по-настоящему в Риме ты еще не был!

Слово существует. Если нужно подчеркнуть, что в составе какао именно маршмеллоу, а не зефир - почему бы и не написать об этом?

Слитное написание корректно: Несмотря на неотпускающую лёгкую головную боль...

Запятая перед тире необходима: она закрывает придаточную часть когда последний раз ездил на легковом автомобиле таким образом. Заметим, что между частями приведенной Вами бессоюзной конструкции, хотя допустимо и тире, более уместно двоеточие как знак, выражающий отношения причины, обоснования: Уже и не помню, когда последний раз ездил на легковом автомобиле таким образом: в основном езжу на маршрутке.

Правильно здесь: ни распределили.

Правильно. С географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: у реки Волги, но на реке Енисей.