Написание надо запомнить. Исторически тре- здесь — это церковнославянская усилительная приставка (восходящая к числительному) трь…

Вот что пишет о ней «Объяснительный русский орфографический словарь-справочник»:

«Данная приставка выделяется, напр., в словах: треволнения, треволненный, трезвон (букв. «звон во все колокола»), треклятый (букв. «многажды клятый»), тресветлый, тресвятой (Тресвятая Богородица); трегубый, трезвучие, трезвучный, трезубец, тренога, треножник, треугольник, треух. Первоначально приставка прилагательных и превосходной степени прилагательных, исторически усилительное значение приставки тре- в некоторых словах сблизилось со значением числительного три (трезвучие – аккорд из трех звуков, трезубец – с тремя зубцами)».

Корректно тире с пробелами: войсковая часть — полевая почта. 

Возможны разные варианты переноса: при-ближаться, прибли-жаться, приближа-ться, приближать-ся.  

Правильно: по Дербенту, по городу Дербенту, по г. Дербенту.

Обратите внимание на сочетаемость слова тариф, отраженную в толковых словарях русского языка. Сочетаемость этого слова с предлогами неоднократно обсуждалась и в ответах нашей справочной службы (пожалуйста, воспользуйтесь архивом). Выбор варианта определяется смысловыми особенностями текста.

Поскольку в данном случае сравнительный оборот выполняет роль обстоятельства образа действия, запятая перед ним не нужна.

Профессионально значимый — сочетание наречия и прилагательного: значимый (как? в каком аспекте?) профессионально. Профессионально-личностный — сложное прилагательное, образованное от основ с равноправными отношениями (профессиональный и личностный).

Верно: экстраяркий. Экстра- – приставка, пишется слитно (за исключением слов экстра-класс, экстра-почта, экстра-тайм, экстра-энд).

Правильно: 144 преподавателя-практика.

Перед словами, начинающимися с согласного [щ], употребляется предлог со: коробка со щенками.