По правилам верно: филиал в г. Южно-Сахалинске. Подробнее см. в "Письмовнике".
Верно: На должность заведующего терапевтическим отделением... Подробнее см. в вопросе 243193.
Слова с первой частью демо- (со значением "демонстрационный") пишутся слитно: демокурс.
Запятая после Омской области нужна. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Слова с первой частью онлайн пишутся через дефис (см. словари): онлайн-школа.
Предпочтительно: не содержит имени, названия.
Обороты, присоединяемые предлогом «на основании», могут обособляться. См. «Справочник по пунктуации».
Со строчной. Заглавная и прописная - это одно и то же.
В придаточном предложении со значением уступки: Как бы это ни звучало.
См. о склонении существительных и прилагательных в учебнике Е. И. Литневской.