В этом предложении должна быть употреблена частица ни.

Правильно: и вдруг ни с того ни с сего.

Формы повелительного наклонения: щекочи, пощекочи, прошедшего времени – щекотал, пощекотал.

Слово действительно может употребляться как обстоятельство, выраженное наречием (и не выделяться запятыми), а может и выступать в роли вводного (и обособляться). Различать наречие и вводное слово действительно очень непросто. Вводное слово отличается интонационной обособленностью (при устном прочтении оно выделяется интонационной паузой) и оттенком значения: вводное слово действительно выражает уверенность говорящего в истинности сообщаемого факта. Наречие действительно, как правило, притягивает на себя фразовое ударение (Ср.: Ты очень устал – Ты действительно очень устал), по своему значению оно синонимично прилагательному «действительный» – «настоящий, подлинный». В спорных случаях вопрос о расстановке знаков препинания решает автор текста.

Название должно склоняться и записываться в кавычках: благодаря «Арбидолу». 

Не растирая — одиночное деепричастие. В приведенном предложении оно требует обособления, так как обозначает второе действие (=промокните, но не растирайте) и, кроме того, оторвано от глагола. Об этих факторах обособления см. «Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), параграф 72.

Выражение некорректно в целом, поскольку качество, определяемое прилагательным неразвитый в значении "отсталый", не имеет точки отсчета. Возможен вариант: Россия 1990-х, которую принято считать неразвитой... 

Грамматической ошибки в сочетании нет. 

Ваше предположение верно: по имени Валя — приложение. Такие приложения, согласно параграфу 64 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), обособляются, но могут и, согласно примечанию 1 к этому параграфу, «не обособляться, если они имеют основное, выделительное значение, т. е. не являются уточнением или пояснением впереди стоящего определяемого слова: Завел он себе медвежонка по имени Яша».

Да, это эллиптическое предложение. Следует заметить, однако, что в данном случае оно осложнено присоединительным оборотом, после которого естественна пауза, а потому корректный вариант постановки знаков препинания таков: Всех любителей и профессионалов, юных и не очень, — с наступающим!