В составном названии Кемеровская область — Кузбасс должны склоняться обе части, например: Кемеровской области — Кузбасса, Кемеровской областью — Кузбассом. Но в сочетании, о котором Вы спрашиваете, возникает грамматическая неловкость, потому что сочетание г. Новокузнецк Кузбасса невозможно. В таком случае лучше использовать первую часть составного названия: г. Новокузнецк Кемеровской области. Согласно Уставу Кемеровской области — Кузбасса наименования Кемеровская область – Кузбасс, Кемеровская область и Кузбасс равнозначны.

Если части сложного существительного без соединительной главной тесно слились по смыслу, то первая часть не склоняется (например: плащ-палатки). Если такого «слияния» не произошло, то склоняются обе части. Кроме того, некоторые слова могут склоняться по-разному в разговорной и книжной речи. Так, в разговорной речи встречается вариант в вагон-ресторане, тогда как литературная норма: в вагоне-ресторане.

На практике, если возникают сомнения, мы рекомендуем сверяться со словарями.

Запятая перед первым тире не нужна, так как содержащее дополнительные сведения сочетание зачастую без предупреждения, оформленное в виде вставки, относится к глаголу появлялись: Когда они появлялись — зачастую без предупреждения, — отец всегда встречал их радушно и приглашал в дом. Об особенностях сочетания запятых и тире при вставных конструкциях см. примечание 4 к параграфу 26.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.

В данном случае пунктуация вариативна. Автор может сделать акцент на сочетании как птица, в этом случае синонимичном наречию по-птичьи (см. пункт г) параграфа 90 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина), а может поставить на первый план призыв летать (сравним вариант с парцелляцией: Летай! Как птица!), и тогда сочетание как птица окажется обычным сравнительным оборотом, обозначающим уподобление.

Корректно: Я считаю, что, несомненно, расследовать надо.

Это предложение нельзя назвать предложением с пропущенным компонентом. Расставляя в нем знаки препинания, необходимо сначала определить структуру предложения «на макроуровне»: простое оно или сложное? Предложение сложноподчиненное, части соединяются союзом что. Перед союзом ставим запятую. Далее рассматривается каждая часть отдельно. Первая ничем не осложнена – знаки внутри ее не нужны. Вторая содержит вводное слово несомненно. Оно требует обособления.

Несмотря на то что – составной подчинительный союз. Он может целиком входить в придаточную часть (и не разделяться запятой), но может и расчленяться, в этом случае запятая обычно ставится и перед союзом (перед словом «несмотря»), и между его частями (перед словом «что»). Однако если логическое ударение падает не на глагол происходит, а на первую часть составного союза, запятую перед ним лучше не ставить.

Ваше замечание справедливо. Дело в том, что в русском языке словом блокадник называют именно ленинградцев, переживших блокаду 1941–1944. Такое значение отмечено и в словарях русского языка, например в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой: блокадник – человек, живший в Ленинграде в период фашистской блокады города в 1941–1944. Поэтому сочетание блокадник Ленинграда лексически избыточно, слово Ленинграда здесь лишнее.

В приведенных примерах отсутствие кавычек оправданно. Обычно не выделяется кавычками прямая речь, если нет точного указания, кому она принадлежит (это Ваш первый пример); если она приводится в таком виде, который может иметь и косвенная речь с этим же лексическим составом. При этом слова, указывающие на источник сообщения, в периодической печати могут выделяться одними запятыми, без тире (как в последнем Вашем примере).

Словари русского языка не фиксируют какого-либо различия между предлогами до и по при указании временного предела действия. Распространенное мнение, что употребление предлога по будто бы означает 'включительно', словарями не подтверждается. Употребление как предлога до, так и предлога  по не означает включенности даты в указанный период времени, а для устранения неоднозначности рекомендуется использовать слово включительно: до 1 апреля включительно или по 1 апреля включительно.

Слова верный и правильный синонимичны в значении 'соответствующий истине, действительности, обстановке': верный ответ и правильный ответ, верное решение и правильное решение. Это значение у слова верный последовательно фиксируется словарями русского языка, и не только современными. Например, в словаре Ушакова дано одно из значений слова верный 'правильный, истинный, согласный с действительностью'. Словарь этот был издан в 1935–1940, т. е. задолго до 1970-х.