Запятая перед и нужна, поскольку это сложное предложение.
Корректно без кавычек. Сочетания голубые, зелёные, чёрные, красные... береты (в значении 'o разных воинских подразделениях') зафиксированы словарями русского языка. Они уже не являются новыми, необычными.
Правильно через тире, т. к. приложение состоит из нескольких слов: депутат — член фракции. Однословное приложение присоединялось бы дефисом, ср.: депутат-единоросс.
Настолько обобщенно ответить на этот вопрос невозможно, нужен контекст.
В 4-м издании академического «Русского орфографического словаря» под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой (М., 2012) зафиксировано написание названия орудия в кавычках: «катюша» (в прежних изданиях словаря рекомендовалось написание без кавычек). Корректно: залп «катюши».
Тире с пробелом (первая часть представляет собой сочетание слов).
Правильно: по прибытии поезда. Предлог по в значении 'после чего-либо' употребляется с предложным падежом: по завершении, по приезде, по прибытии, по возвращении и т. д.
Правильно: невооруженным глазом.
Правильно: ГБОУ «Школа...» провело мероприятия. Сказуемое согласуется со словом учреждение. Ср.: кинотеатр «Родина» открылся после ремонта (не открылась).
Запятые стоят верно.
