На наши ответы этот факт не влияет.

Можно. Но лучше: написанная от руки записка.

Скорее всего, отдать документы на руки (то есть лично).

Корректно: принцип одного окна (ср.: правило правой руки, правило буравчика).

Объявлять один и тот же факт и нонсенсом, и парадоксом - нелогично.

Затрудняемся назвать первоисточник. Факт, что эти слова - не из литературного языка.

Пожалуй, возможно мнемоническое правило о стилистической окраске глаголов, включающих компоненты класть и ложить: ложат только с приставками, а кладут без приставок. С помощью орфографического академического ресурса «Академос» несложно удостовериться в том, что правило работает. Так, по запросу *ложить выдаются только приставочные глаголы, и все они не имеют сниженной стилистической окраски (вложить(ся), возложить, выложить(ся) и т. д.); по запросу *класть выдаются глаголы без стилистической пометы класть, накласть, прозакласть и глаголы с пометой сниж. закласть и покласть. При этом очевидно, что глагол накласть находится на стилистической шкале ниже отметки «нейтральное», но не так низко, как закласть и покласть, и это отмечается толковыми словарями, в которых стилистическая характеристика дается более дифференцированно, чем в орфографических источниках (см., например, накласть). Глагол же прозакласть практически не употребляется. Таким образом, из глаголов с компонентом класть стилистически безупречен лишь бесприставочный класть. Но предложенное мнемоническое правило ограничено названными в нем глаголами, оно не охватывает слова с корнем -клад-: многие из них, такие как уклад, приклад, расклад, склад, складировать и др., стилистически нейтральны.

О мнемонических правилах можно прочитать здесь. 

В разговорной речи такое употребление возможно (по аналогии с "руки заходятся от холода" = немеют).

Обе фамилии склоняются (и мужские, и женские варианты) как существительные первого школьного склонения (доска, рука).