Правильно: Институт внешней торговли Италии.
Все верно.
Второй вариант лучше.
Словарная фиксация: параолимпийский.
Правильно: в Ельце, в городе Ельце.
Заявление, в отличие от некоторых других документов (например, паспорта, водительского удостоверения) составляется в свободной форме. Существуют рекомендации по оформлению, однако абсолютно жесткими они никогда не были и не являются таковыми сейчас.
Следует руководствоваться словарем.
О первом примере см. ответ на вопрос № 327147. При глаголе назвать в значении «присвоить имя» существительное может стоять как в именительном, так и в творительном падеже (см. соответствующие примеры в словарных статьях этого глагола).
Верно: Применение педагогически необоснованных и не обеспечивающих высокое качество образования форм, методов обучения и воспитания.
