Это определение. Задать точный вопрос в этом словосочетании затруднительно.
Слова день рождения пишутся строчными. Местоимения Вы, Ваш пишутся с большой буквы как форма выражения вежливости при обращении к одному лицу: Поздравляю с днем рождения! Желаю Вам и Вашим близким...
Верно: ...на знание русского языка, достаточное для освоения программ (обособленное определение согласовано со словом знание).
Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» (правильно: пертурбация).
Форма родительного падежа (съешь моего яблочка) в подобных конструкциях употребляется, если нужно указать на неполный охват предмета действием, в данном случае — если имеется в виду не целое яблочко, а его часть, кусок. По отношению к такой форме в лингвистической литературе может употребляться термин родительный части.
Предложение лучше перестроить. Например: Хотите узнать больше о нашем центре и его возможностях? или Хотите узнать больше о том, что представляет собой наш центр и что он может дать вашим детям? (запятая не ставится между однородными придаточными предложениями, соединенными неповторяющимся союзом и).
Все приведенные варианты возможны.
Лучше выбрать вариант "проверяются" (с глаголом в спрягаемой форме).
