Такое усеченное название нужно написать с прописной буквы. 

Первое предложение корректно как с отмеченной запятой, так и без нее. Обстоятельство рядом с белыми медведями можно считать уточнением к обстоятельству на Северном полюсе, а можно воспринимать конструкцию на Северном полюсе рядом с белыми медведями как единое обстоятельство. Таких примеров, допускающих двоякое прочтение, немало в русских текстах. См. также ответ на вопрос 318421.

Во втором предложении знак препинания — запятая или тире — в отмеченном месте нужен, это знак пояснения. Без него сочетание на Южном [полюсе] в Антарктиде будет подразумевать, что можно быть на Южном полюсе и при этом не быть в Антарктиде, а это противоречит общему географическому знанию.

«Большой академический словарь русского языка» фиксирует варианты на втором и третьем слоге как равноправные. Однако в современных орфоэпических словарях слова маркированный и маркированный представлены как слова с разными значениями. Маркированный – от слова маркировать 'ставить клеймо, марку' или 'проводить борозды для посадки': маркированные товары, маркированные товарным знаком. Маркированный – это лингвистический термин: стилистически маркированный.

Часто вызывает затруднения сочетание маркированный перечень (список). В нем прилагательное использовано в значении 'отмеченный какими-то знаками', что довольно близко к значению 'ставить клеймо, марку', однако в этом сочетании прилагательное можно отнести и к лингвистическим терминам. Поэтому будет правильным, в соответствии с рекомендациями «Большого академического словаря русского языка», допустить два варианта: маркированный перечень (список) и маркированный перечень (список).

Этот вопрос носит, на наш взгляд, несколько отвлеченный характер. В тех сферах общения, где ценится соблюдение норм, это слово лучше вообще не употреблять. Написания типа ХЗ, хз характерны для аббревиатур. Но аббревиатуры — это имена существительные, поэтому такое написание не подходит. Написания типа х. з. или х/з используются в графических сокращениях. Графические сокращения не представляют собой самостоятельных словесных единиц, это условный способ передачи полностью произносимых сочетаний. Поэтому и этот способ написания не годится. Приемлемым можно считать написание хэзэ. Такие написания строятся из названий букв и используются в том числе для передачи единиц, которые, будучи изначально графическими сокращениями, приобрели в ходе общения статус самостоятельных слов (хэбэ, мэнээс).

Да, такое усеченное предложение вполне возможно, если его смысл понятен из контекста. Такое предложение следует квалифицировать как неполное. 

Если есть необходимость сохранить именно такую конструкцию, следует использовать висячий дефис только в усеченном слове: сохранение взаимоуважения и -выручки.

В усеченном названии первое слово пишется с заглавной буквы. Но написание краматорский завод со строчной буквы как обычного описательного оборота тоже возможно. 

Если фамилия поэта дается полностью (Луис де Гонгора-и-Арготе), она не склоняется: «Одиночества» Луиса де Гонгора-и-Арготе. Если же фамилия дается в усеченном виде (Гонгора), она склоняется: «Одиночества» Гонгоры.

Полное название театра орфографически верно писать так: Центральный академический театр Российской армии. Если вместо полного названия употребляется усеченное, первое слово в нем пишется с большой буквы: Театр Российской армии.