Особенность склонения этой фамилии – окончание -ом в творительном падеже: Джорджем Гершвином (т. к. это иноязычная фамилия). Остальные падежи не вызывают затруднений: Джорджа Гершвина, Джорджу Гершвину, Джорджа Гершвина, о Джордже Гершвине.
Корректно: святая гора Афон, Святая гора.
Скорее всего, этого слова нет во встроенном словаре программы.
Традиция в употреблении имен собственных — вещь, которую очень нелегко переломить. Однако нужны специальные исследования для того, чтобы подтвердить непререкаемость такой традиции. Так, словарь Е. А. Левашова "Географические имена. Трудные случаи употребления" (2003) однозначно фиксирует: в Туголесском Бору.
Оба варианта корректны.
См. «Учебник ГРАМОТЫ». Правило касается корней гор-гар со значением, связанным с горением.
См. ответ на вопрос № 304975.
Предлог - это отдельное слово.
