Слово путем фиксируется в словарях и грамматиках как производный отымённый предлог, а слово методом — нет. Это связано с тем, что форма существительного путем в конструкциях с последующим род. падежом в большинстве контекстов:

1)  утратила лексическое значение, свойственное существительному путь и используется для выражения значения абстрактного отношения между главным словом и зависимой формой родительного падежа: подтвердить (главное слово) путем референдума (зависимое слово); сформировать (главное слово) путем выборки (зависимое слово) и т. п.

2) при выражении абстрактного значения отношения теряет морфологические признаки существительного (не может изменяться по числам и падежам);

3) не является самостоятельным членом предложения, входит в предложно-падежную конструкцию вместе с последующей формой род. падежа.

Например:

Модель может быть расширена путем добавления новых элементов.

Модель может быть расширена путем добавления новых элементов и замены деталей корпуса.

Словоформа методом сохраняет значение существительного метод и способность к словоизменению, является самостоятельным членом предложения, а по отношению к последующему род. падежу выступает в качестве главного слова в словосочетании.

Состав наносплава определяли методом просвечивающей микроскопии.

Состав наносплава определяли методами просвечивающей и сканирующей микроскопии.

Для сравнения приведем контекст, в котором словоформа путем остается существительным (не является предлогом), так как сохраняет значение существительного путь и выполняет функцию члена предложения:

У нас появилась уникальная возможность попасть на озеро Байкал путем первооткрывателей.

Ваш спор легко разрешить с помощью толкового словаря. Приведем статью из словаря Н. Ю. Шведовой, где не только фиксируется современное значение слова, но и показано, как это значение возникло: 

БЕДОВЫЙ, -ая, -ое; -ов (разг.). Шустрый, сме-лый. Б. мальчишка. || сущ. бедовость, -и, ж.
 К беда; развитие знач.: ‘несущий беду, опасный, гибельный’ > ‘(о человеке) неуживчивый, беспокойный, вздорный’ > ‘смелый, шустрый’.

В указанных примерах использование формы мн. ч. корректно.

См. также: Единственное и множественное число сказуемого.

Есть две корректные формы сравнительной степени: подробнее и более подробно. Смешивать их не следует.

Корректно: В психиатрии при постановке диагноза всегда смотрят, есть ли самокритика у человека.

Возможно склонение мужской фамилии с выпадением гласного (Гаврильца, Гаврильцу) и без выпадения гласного (Гаврилеца, Гаврилецу). Второй вариант предпочтителен (ведь фамилии выполняют и юридическую функцию), но окончательное решение – за носителем фамилии.

Такие аббревиатуры склонять не следует: сотрудники ОСА, сотрудники подразделения ОСА.

Вы правы, т. к. согласно Конституции Российской Федерации у нашей страны два равнозначных наименования – Российская Федерация и Россия. Аббревиатура РФ прижилась в канцелярско-бюрократическом языке, но лучше избегать ее употребления, если есть такая возможность.

Запятая ставится, прописные буквы внутри предложения не нужны.

Согласно нормативным справочникам дефис – небуквенный орфографический знак, который употребляется в разных функциях.