Кавычки не требуются, если это слово употреблено в тексте, для которого нормой является использование подобных терминов.
Если речь о междометии, то строгой орфографической нормы нет, возможны оба варианта. Чаще употребляется вариант хей.
Если это официальное название мероприятия, первое слово в названии пишется с большой буквы: Большие петровские игры.
Верно: мы о нем не договорили.
Если глагол недоговорить пишется слитно, он означает "умолчать о чем-то".
Если слова все твои учителя выступают в роли пояснения, то верно: Мы, все твои учителя, понимаем.
Если причастие относится ко всему ряду однородных членов, то правильно: ...инструменты и оборудование, производившиеся в городе.
Если Вы спрашиваете о названии скалы как географического объекта, ко корректно: скала Замок Коварства и Любви.
Приведенные слова нужно писать с прописной буквы, если они употребляются в тексте как индивидуальные названия организаций.
Если дата относится к словосочетанию (как в Вашем примере), ставится тире с пробелами: "Учитель года — 2019".
Вне контекста сочетание экономичные детали корректно. Если имеется в виду конкретное предложение, нужно смотреть по контексту.
