Строгих правил образования уменьшительных имен нет. Собственно говоря, уменьшительные (семейные, домашние) имена могут быть любыми: Борис - Боря, Боба и т. д. Илюша - просто наиболее распространенный "домашний" вариант имени Илья. Это совсем не значит, что нельзя образовать вариант Ильюшка.
Что - союз. Правы и Вы, и Розенталь: в разговорных синтаксических структурах нет и не может быть жестких правил расстановки знаков препинания. В приведенном Вами предложения до конца не ясно, чем являются слова, присоединяемые союзом что: частью сказуемого или придаточным предложением.
Встать с левой (не с той) ноги – быть в плохом настроении, в раздраженном состоянии. У многих народов существует поверье, что встать с постели левой ногой – значит провести дурной день. Понятия о правом и левом издавна соединялись с понятием добра и зла.
При словах тысяча, миллион, миллиард сказуемое обычно согласуется по правилам согласования с подлежащими-существительными, то есть ставится в единственном числе. Однако конструкции по образцу согласования с подлежащими – счетными оборотами также возможны, и сказуемое может иметь форму множественного числа, это не будет ошибкой.
Вы задаете вопросы не от того слова. Определение согласуется с определяемым словом, а оно в примере отсутствует. Так, если воспевался подвиг, то в зависимости от контекста может быть: подвигом (каким?) воспетым (творительный падеж) и о подвиге (каком?) воспетом (предложный падеж).
В приведенном Вами примере правильно написание с одной н. Отглагольное прилагательное струганый пишется с одной н, наличие приставки не- не влияет на написание. С двумя н пишется причастие струганный: струганные мастером доски (здесь струганные – причастие, т. к. есть зависимое слово).
Сочетание сегодняшний день, изначально плеонастичное, уже вошло в литературный язык и нарушением нормы не является. Например, «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова фиксирует: На сегодняшний день (в настоящий момент). Жить сегодняшним днём (не думая о будущем).
Конечно, может. И такие примеры есть в художественной литературе. Ср.: Так и ходила ― в митенках разного цвета, чулки и носки разные… Но! Входила в аудиторию и начинала лекцию с того слова, которым закончила предыдущую!.. Д. Рубина, На солнечной стороне улицы.
Вообще говоря, это не одно и то же: слова могут быть не однокоренными в современном русском языке, но исторически восходить к одному и тому же корню, тогда их называют родственными. Но в школьной программе нередко родственными называют и однокоренные слова.
Слово ротный в кавычки заключать не надо (это стилистически нейтральное слово, употребляемое в привычном значении). Что касается слов дембель и гражданка, то, поскольку это слова разговорно-просторечные, кавычки могут быть уместны (постановка кавычек даст возможность употребить разговорные слова в «серьезном» тексте).
