Корректно: На ходу он кинул: «Береги его!» – и вышел за дверь.
Запятая между главной частью и придаточной, присоединяемой простым союзом или союзным словом, не ставится, если перед подчинительным союзом или союзным словом стоит сочинительный союз и. Таким образом, указанная запятая не нужна.
Варианты разбора слова приведены в учебнике Е. И. Литневской (фонетический, морфемный и т. д.).
Правильно: История о человеке, вот уже более 15 лет живущем без документов (в предложном падеже пишется Е в окончании причастия).
Корректны прописные буквы (терминологическое значение).
Ставится запятая между предикативными частями сложного предложения.
Кавычки не нужны.
Ошибка в управлении. Правильно: уделять внимание чему-то: он мало внимания уделял этому заданию.