Мужская фамилия Шлегель склоняется: Шлегелю Ивану. Женская не склоняется: Шлегель Ирине.
Сочетание не зафиксировано в академическом «Русском орфографическом словаре». Правилу о написании слова с неизменяемым определением, выраженным существительным или прилагательным, соответствует форма без дефиса: сатин люкс. Ср.: вагон люкс, отель люкс, сервис люкс.
Корректно: Нахожу, за что себя покритиковать.
Нужно писать с одной буквой н, если нет зависимых слов, ср.: белые штукатуреные стены, но плохо штукатуренные стены.
Мужская фамилия Лиходей склоняется.
Если название употребляется в тексте, кавычки нужны: У нас открыли магазин «Мила». В «Миле» самая вкусная кулинария.
Если название указывается на вывеске (без родового слова магазин), кавычки не ставятся.
Если это предложение целиком, то верно: Маме 55. При интонационной паузе можно поставить тире: Маме — 55.
Запятые нужны: Почему, отдыхая, мы устаем?
См. в «Справочнике по пунктуации».
Верно: ...однако, приглядевшись, можно заметить, что...
