Глагол ложиться входит в состав русского литературного языка, он стилистически нейтральный и может свободно употребляться в любых контекстах. Все запреты, связанные с глаголом ложить, на глагол ложиться не распространяются.

Мы согласны с Вашим мнением. Слово специализация свободно употребляется в форме множественного числа, а инфраструктура обычно используется в форме единственного: экономические специализации субъектов Российской Федерации; транспортная и социальная инфраструктура.

Правила нет, это словарный материал. Какие-то слова закрепились в единственной форме с двух- или дву-, какие-то живут в вариантах. Проверить конкретное слово можно с помощью словарей нашего портала.

О фонетическом фактрое выбора части двух- или дву- писал Д. Э. Розенталь. О других закономерностях можно прочитать в книге Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи» (к сожалению, в свободном доступе в интернете этой книги нет). Некоторые закономерности описаны в ответе на вопрос № 172716.

На то, что в течение — это предлог, указывает его значение "на протяжении какого-либо отрезка времени" и роль в предложении: здесь в течение можно свободно заменить на предлог в продолжение.

Верно: нет возможности посещать тренировки в течение недели.

Оба варианта возможны. Форма винительного падежа (два раза в год) предпочтительна, так как при обозначении повторяющегося действия ее свободно принимают и другие существительные со значением временных отрезков: два раза в час, в день, в неделю, в месяц.

1. Сложносочиненное предложение.

2. Сложноподчиненное предложение. Придаточная часть присоединяется при помощи подчинительного союза что.

Вариант 1. Механическая вставка

Да, прилагательные от несклоняемых топонимов образуются при помощи словообразовательного суффикса -ск-, например: Бордо → бордо-ск-ий, Тарту → тарту-ск-ий, Раквере → раквере-ск-ий, Чарджоу → чарджоу-ск-ий и т. п.

Словообразовательный процесс часто сопровождается дополнительными явлениями: могут использоваться варианты суффикса -ск-, возможны переносы ударения с производящей основы, наложение (совмещение морфем), усечение производящей основы, ср.:

Урарту → урарт-ск-ий (суффикс -ск-, усечение основы);

Брно → брн-енск-ий (вариант -енск-, усечение основы, перенос ударения);

Перу → перу-анск-ий (вариант -анск-, перенос ударения);

Чу → чу-йск-ий, Хуло → хуло-йск-ий (вариант -йск-);

Улан-Удэ → -улан-удэ-нск-ий (вариант -нск-);

Лахти → лахти-нск-ий, Тольятти → тольятти-нск-ий, Гоа → гоа-нск-ий, Никарагуа → никарагуа-нск-ий (в прилагательных типа лахтинский, тольяттинский и гоанский, никарагуанский можно выделять суффиксы -инск- и -анск-, считая, что в процессе словообразования происходит наложение морфем),

Конго → конго-лезск-ий (вариант -лезск-, перенос ударения) и т. п.

Соответственно, от топонима Тайху могут быть образованы варианты тайхуский, тайхский, тайхуйский, тайхунский и др. Ситуация с образованием прилагательных от других упомянутых в вопросе китайских топонимов аналогична.

Поэтому использование этой словообразовательной модели является правильным, однако ни один из возможных вариантов пока не зафиксирован в словарях, грамматиках и справочниках как нормативный.

В интернете встречаются прилагательные тайху-ск-ий, нинбо-ск-ий, уси-ск-ий, шао-ск-ий и шанли-йск-ий, что подтверждает наличие вариантов у этой словообразовательной модели. Нормативный вариант удастся установить, если эти прилагательные будут активно использоваться в речи.

Вариант 2. Вставка в режиме «Источник»

Да, прилагательные от несклоняемых топонимов образуются при помощи словообразовательного суффикса -ск-, например: Бордо → бордо-ск-ий, Тарту → тарту-ск-ий, Раквере → раквере-ск-ий, Чарджоу → чарджоу-ск-ий и т. п. Словообразовательный процесс часто сопровождается дополнительными явлениями: могут использоваться варианты суффикса -ск-, возможны переносы ударения с производящей основы, наложение (совмещение морфем), усечение производящей основы, ср.: Урарту → урарт-ск-ий (суффикс -ск-, усечение основы); Брно → брн-енск-ий (вариант -енск-, усечение основы, перенос ударения); Перу → перу-анск-ий (вариант -анск-, перенос ударения); Чу → чу-йск-ий, Хуло → хуло-йск-ий (вариант -йск-); Улан-Удэ → -улан-удэ-нск-ий (вариант -нск-); Лахти → лахти-нск-ий, Тольятти → тольятти-нск-ий, Гоа → гоа-нск-ий, Никарагуа → никарагуа-нск-ий (в прилагательных типа лахтинский, тольяттинский и гоанский, никарагуанский можно выделять суффиксы -инск- и -анск-, считая, что в процессе словообразования происходит наложение морфем), Конго → конго-лезск-ий (вариант -лезск-, перенос ударения) и т. п. Соответственно, от топонима Тайху могут быть образованы варианты тайхуский, тайхский, тайхуйский, тайхунский и др. Ситуация с образованием прилагательных от других упомянутых в вопросе китайских топонимов аналогична. Поэтому использование этой словообразовательной модели является правильным, однако ни один из возможных вариантов пока не зафиксирован в словарях, грамматиках и справочниках как нормативный. В интернете встречаются прилагательные тайху-ск-ий, нинбо-ск-ий, уси-ск-ий, шао-ск-ий и шанли-йск-ий, что подтверждает наличие вариантов у этой словообразовательной модели. Нормативный вариант удастся установить, если эти прилагательные будут активно использоваться в речи.

Сочетание основные принципы, действительно, формально избыточно (принцип – основное положение какой-либо теории, учения, науки и т. п.). Но не любая избыточность ошибочна. Это сочетание свободно употребляется в русском языке и зафиксировано словарями. Оно является корректным и не требует замены.

В толковых словарях русского языка при слове чтоб нет никаких ограничительных стилистических помет. Оно свободно употребляется в письменных текстах разных жанров, в том числе публицистических. Не вполне уместно оно, может быть, в текстах строго научного и официально-делового стиля.

Правильно:

1. Снятый галстук держат в левой, свободно опущенной руке.

2. Перенести вперед ногу, сохраняя положение корпуса как при строевой стойке.

3. Нога ставится как при обычной ходьбе. Ставится как при обычной ходьбе — это сказуемое.

4. Для этого при подходе к директору... Вопрос: нужна ли запятая после "для этого"? Для ответа на вопрос контекст недостаточен.

5. После разучивания и отработки приемов "выход из строя" и "возвращение в строй", "подход к директору вне строя"...

6. Строевая стойка принимается по команде и выполняются действия как при строевой стойке без оружия.

7. Наклоны выполняют все работники с соблюдением равнения по правилам и командам, осуществляемым при выполнении... 

Обычно сочетание с предлогом для обозначает тех лиц, какие могут занять вакантные места: вакансии для студентов, практикантов, претендентов, выпускников и т. п. Сочетания вакансия работника, сотрудника, учетчика, ученика сообщают о том, какое именно рабочее место свободно. Выражения, названные в вопросе, не ясны по своему значению.