Часть речи - существительное. Член предложения - обстоятельство.
Наречие или краткое прилагательное.
Это наречие. Но и "след" существительного тоже есть, ср.: Холодной ночью...
Можно сказать, что "самый умный" - это аналитическая превосходная форма прилагательного. С точки зрения грамматики это одно слово, одна часть речи.
В данном случае обоснованно — наречие (относится к глаголу утверждать), пишется с двумя Н.
Это краткое причастие.
Это краткое прилагательное.
Это слово может быть как предлогом, так и наречием. Определить часть речи поможет контекст.
Довольно тонкий теоретический вопрос... В целом мы готовы согласиться с Вашими рассуждениями. Но зачем с такой точностью различать, каков практический смысл этого?
В данном случае часть речи - существительное.