Правильно: апостиль.
Да, в такой конструкции кавычки уместны. Но лучше звучит: в спортивном стиле.
Это выражение корректное, хотя и канцелярское.
Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует:
ашиха́ра-карате́, нескл., с.
карате́, нескл., с.
карате́-до́, нескл., с.
карате́-кеку́синкай, нескл., с.
коси́ки-карате́, нескл., с.
По аналогии следует писать и другие названия стилей карате.
Поскольку нормативными словарями этот термин пока что не зафиксирован, возможно его вариантное написание.
В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова слово тойота зафиксировано как существительное женского рода (см. словарную фиксацию).
В стиле, олицетворяющем... В подобных случаях помощником-подсказкой служит прилагательное синий — подставляем и получаем правильный ответ об окончании причастия.
Корректно раздельное написание: Стиль его работ легко узнаваем.
