Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко, Лагань – слово женского рода. Правильно: живу в Лагани.
Во всех перечисленных случаях кавычки не требуются.
Слово офер (как и, например, офис) следует писать с одной буквой ф: именно в таком виде слово представлено на Орфографическом академическом ресурсе «АКАДЕМОС».
Несмотря на распространенность варианта щавель, нормативным он не является, единственно верный вариант: щавель. Массовость употребления – далеко не единственный критерий, необходимый для признания варианта нормативным.
"Справка" не выполняет домашних и конкурсных заданий.
Для ответа нужно точнее знать ситуацию. Так, если имеется в виду "абсолютно верный ответ", то правильнее сказать: Все давали стопроцентно верный ответ.
Запятая нужна.