Правильно: среднеазиатская республика, среднеазиатские республики. С большой буквы пишутся официальные названия государств.
Справочник Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» фиксирует: Римская республика. Сочетания этих слов с определениями Ранняя, Поздняя в словарях не отмечены, но по аналогии с зафиксированным в указанном справочнике Ранняя Римская империя корректно: Ранняя Римская республика, Поздняя Римская республика.
Верно: делегация Республики Беларусь.
Корректно: Чеченской Республики Ичкерии.
Следует писать с большой буквы: Уфа и Республика Башкортостан.
Да, при неофициальном употреблении (например, в тексте газетной статьи) верно написание строчными: глава республики предложил, глава Дагестана положительно охарактеризовал... Прописная буква нужна, если полное название должности используется в официальном тексте.
Правильно: Федеративная Республика Германия.
Ставится тире (с пробелами до и после тире) между двумя названиями, одно из которых неоднословное.
Верно: в Республике Дагестан.