Запятые нужны.
В данном случае можно после глагола подставить вместо одушевленных неодушевленные существительные, которые будут отвечать на вопрос "что" (это признак винительного падежа). Кроме того, указанные глаголы - переходные, а значит, они управляют винительным падежом.
Корректно: В жирник (самодельный светильник) добавлялся любой жир домашних животных, предварительно растопленный.
Сказуемое - были увезены. Неизвестно куда - обстоятельство. Постановка знака препинания не требуется.
Если речь идет о названиях заведений, то в этом случае любое из упомянутых словосочетаний выступает в качестве имени собственного. У имен собственных, как известно, особое смысловое назначение и особые функции в языке. Есть ли какие-либо основания говорить о прямом или переносном значении существительных лебедь или кот, если они отнесены к заведению?
Запятая ставится.
Нет, эти слова этимологически не родственны. Для более подробного изучения этого вопроса можно обратиться к этимологическим словарям.
Указанная в скобках запятая не нужна. См. ответ на вопрос 320270.
Эти сочетания пишутся строчными буквами.
