Корректно: И сегодня, и вчера кукла – главная игрушка.
Об озере верно: поехать на Ламу.
Перед перечислением нет обобщающего слова (сравним: ...света лишились важные объекты: школа, детский сад и Центральная районная больница), поэтому двоеточие не требуется.
Это предложение с некоординируемыми главными членами. Именной частью сказуемого здесь выступает предложно-именное сочетание с севера на юг. Тире на месте нулевой связки в таких случаях обычно не ставится, но может быть поставлено при логическом или интонационном членении предложения.
Правильно: ...в какой бы части света они ни находились.
Правильно только не беги; вариант не бежи невозможен.
Тире может не ставиться, если в месте, где пропущен член предложения, нет паузы.
Оба варианта возможны.
Запятая не нужна.
