В обоих случаях правильно слитное написание. Подробнее см. в информационно-поисковой системе Института русского языка им. В. В. Виноградова.

Такая проверка возможна. См. словарные статьи к словам идеологический и идеология в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».

Дело в том, что в русской системе письма нет отдельных буквенных знаков для обозначения мягких и твердых согласных.

Корректно: норманнская, антинорманнская теория. См. также дополнительные материалы к слову норманнский в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».

Сочетание гендерно ориентированный зафиксировано в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря». Там же можно прочитать о подобных сочетаниях. 

Корректно раздельное написание. О разнице между насколько и на сколько см. в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря». 

Да, их можно найти в библиотеках. Некоторые ссылки можно найти в поисковых системах по запросам «дореформенная орфография», «дореволюционная орфография».

Орфографию нужно проверять по орфографическому словарю. Правильно слитное написание: массмедиа. Написание обосновано в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».  

Скорее, на усмотрение редактора (не автора). Существуют разнообразные системы рубрикации, главное - выбрать какую-то одну и строго ее придерживаться.

Вы затронули очень серьезную проблему. Сейчас после большого перерыва возобновляется взаимодействие ученых, занимающихся кодификацией русской орфографии, и методистов. Но происходит это, к сожалению, не так быстро, как хотелось бы. Кодификаторы ведут постоянную работу – пополняют орфографический словарь новыми словами, ищут новые, более точные, непротиворечивые формулировки правил, изучают области письма, неудовлетворительно описанные в существующих справочниках, уточняют списки исключений, разрабатывают электронные орфографические ресурсы. В очень редких случаях, только когда вынуждает к этому орфографическая система русского языка, они меняют рекомендации. Новые сведения в школу проникают с большой задержкой. Иногда, приходится признать, это происходит из-за неосведомленности школы и методистов об орфографической работе, которая ведется учеными. 

Теперь обратимся к слову заревать. В середине ХХ в., когда формировался орфографический минимум для школы, это слово не было включено в правила и учебники, адресованные детям и учителям. Вероятнее всего, причина в том, что это слово крайне редкое. В основном подкорпусе «Национального корпуса русского языка» сейчас находится лишь три документа с вариантом заревать, и восемь с вариантом зоревать. В большинстве толковых словарей, в том числе в «Большом академическом словаре русского языка», который начал издаваться в 2004 г., ни в одном из вариантов написания глагол не фиксируется. 

Учить писать в школе нужно в соответствии с современной нормой. При расхождении рекомендаций в учебнике и современном академическом орфографическом словаре стоит объяснять, что языковые нормы, в том числе орфографические, в живом языке могут меняться. Не подвержены никаким изменениям только мертвые языки. Вариант зоревать является устаревшим. 

Специалисты, составляющие задания для ЕГЭ, осведомлены о многих проблемах современной орфографии и стараются проблемные слова типа заревать в материалы не включать.