В подобных случаях применяются правила оформления прямой речи внутри авторских слов. В соответствии с ними верно: Забота — лучший способ сказать: «Я тебя люблю»; Скажите менеджеру: «У меня купон», чтобы получить скидку. Содержащиеся в этих предложениях высказывания в кавычках можно считать прямой речью, потому что ее ключевой признак — дословная передача чьих-либо фраз, даже предполагаемых; в данном случае фразы принадлежат адресату.

Третий из приведенных в вопросе примеров грамматически и по смыслу отличается от остальных: первой из фраз, представляющих собой прямую речь, предшествует предлог (вместо), что ставит ее в синтаксическую позицию дополнения, обычно занимаемую существительным; вторая фраза сопровождается не глаголом речи, а глаголом чувствовать, что заставляет предположить, что фраза занимает позицию еще одного дополнения. В том и другом случае двоеточие не нужно. Согласно правилам, если прямая речь внутри авторских слов оканчивается знаком конца предложения, запятая заменяется на тире: Чтобы утром вместо «Кто я? Где я? Почему так плохо?» чувствовать «Какой чудесный я!» — делайте зарядку.

Слова извини и прости часто употребляются как фразы (формулы) речевого этикета. В некоторых случаях они вполне взаимозаменяемы. В одной ситуации собеседник произносит фразу, в которой выражает сожаление по поводу своего поступка: извини / прости за опоздание / грубые слова / что подвел тебя / что так получилось. В другом случае при помощи вежливых слов извини(те) / прости(те) говорящий привлекает внимание других людей (обычно незнакомых): извините / простите, не будет ли у вас ручки? Однако если говорящему важно не просто выразить сожаление по поводу своего поступка (поступков), а обратиться к собеседнику с просьбой о прощении, то из двух обсуждаемых слов только одно способно выразить такую просьбу, а следовательно, ни о какой взаимозаменяемости не может быть и речи. В Прощеное воскресенье люди говорят друг другу: прости мне грехи вольные и невольные. Безусловно, в лаконичных словарных статьях не могут быть подробно описаны особенности употребления таких слов, как извинить и простить. Дополнительные сведения стоит искать в обширной литературе, посвященной речевому этикету, русской культуре.

Правильно: у обоих ворот.

Верно: вОры лезут, ворОв поймать.

Правильно: с асфальта грязь можно смыть водой из шланга.

Да, названия стен и ворот вымышленного замка или крепости подчиняются правилу о написании топонимов. 

Нет. Можно: открыть обе створки ворот (об одних воротах), открыть все ворота (о нескольких).

Вариант за водой общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.