Правильно: Наталье (если в именительном падеже – Наталья) и Наталии (если в именительном падеже – Наталия).
Наращение не используется: открываемся в 2017 году. Но (без слова год): открываемся в 2017-м.
Это зависит от объема реферируемого текста. В любом случае существенно меньше, чем в источнике.
Видимо, речь идет об обновлении словарной базы орфографического академического ресурса «Академос». На сайте www.orfo.ruslang.ru в разделе «Поиск» введите в поле поиска 2025 — и увидите весь список.
Вариант 3 имеет право на существование. В газетных текстах (особенно в заголовках) кавычки при прямой речи, цитатах нередко опускают, сохраняя прописную букву в начале цитаты. Ср. пример из справочника Д. Э. Розенталя «Пунктуация»: Президент Франции сказал: Обмен мнениями был полезен.
В предложении допущена грамматическая ошибка: в приведенное Вами односоставное безличное предложение нельзя ввести деепричастный оборот.
Если имеется в виду "храню в качестве памяти", то запятая не нужна: храню как память.
Верно: в городе Цетине (основной вариант), в городе Цетинье (дополнительный вариант). Но: на реке Цетине.