Правильность - вопрос соответствия исторически сложившимся нормам литературного языка. Первый вариант грамматической норме современного русского литературного языка соответствует.
При воспроизведении исторических (дореволюционных) текстов рекомендуется написание Высочайший Двор. В остальных случаях двор пишется строчными буквами. С большой буквы пишется слово двор в названиях архитектурных памятников (Гостиный Двор, Апраксин Двор).
Специального слова нет, нужно перестраивать фразу. Исторически – именно атлантический. Но сегодня это слово соотносится по смыслу с сущ. Атлантика.
Какие слова Вы называете родственниками? У слов смайл, смайлик нет в русском языке родственных (т. е. исторически связанных) слов.
Социальные институты – это исторически сложившиеся формы организации и регулирования общественной жизни (например, институт семьи, институт здравоохранения и т. д.).
Смысловая связь этих слов утрачена, поэтому в современном языке их нельзя считать однокоренными, хотя исторически они, естественно, являются таковыми.
Исторически это родственные слова, но в современном языке красный ‘цвета крови’ и красивый не являются однокоренными словами.
С точки зрения школьной программы это непроверяемое слово. Однако исторически оно является однокоренным со словами обра́тный, обра́тно.
Верно: в зубовской школе. Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся со строчной буквы, если не являются частью составных географических и административно-территориальных названий, наименований исторических событий, официальных названий учреждений и т. п.
