Для постановки кавычек нет оснований: кавычки указывают на непривычное значение, необычное употребление слова, но значение слова завтра ''ближайшее будущее' фиксируется словарями (заглянуть бы в наше завтра!), т. е. необычным такое употребление назвать нельзя. Если же есть опасения, что при написании без кавычек читатель может не понять смысла фразы, тогда лучше ее перестроить.
Первую букву О проверить однокоренным словом нельзя.
Запятая не нужна: нет никаких оснований для ее постановки.
Употребительна модель столько-то дней (трудной) дороги, где слово дорога имеет значение 'путешествие, поездка'. Однако, полагаем, можно говорить и о днях трудных дорог, то есть о времени, когда пришлось пройти, проехать по множеству непростых для передвижения дорог.
Это корректный оборот.
С большой буквы пишется только первое слово: Старый город. Это указано в орфографическом словаре РАН.
В настоящее время нет.
Согласование (обычный тип связи для сочетания существительного с прилагательным).
Корректно: добраться по канатной дороге.
