Лучше написать: ...профессии веб-дизайнера.
Склоняется и мужская, и женская фамилия: нет Тельки, к Тельке, с Телькой, о Тельке.
Имя Нелли не склоняется.
Нет Петровция, к Петровцию, вижу Петровция, с Петровцием, о Петровции.
Это сочетание написано верно.
Виталию Павлюку. А вот женскую фамилию склонять не следует.
Склоняются обе части сочетания "учреждение-управление".
Да, все верно.
В официальных текстах верно: заведующему сектором социальной и воспитательной работы.
Верно обедали у Стрижей, Стрижи хранят тайну. Но: у супругов Стриж, семья Стриж.