Корректно: на службе искусству, на службе у искусства.
Верно: заход солнца и закат. Слово закат употребляется также в переносных значениях:
- Время захода солнца. Вернуться домой на закате. После заката заметно похолодало. Трудиться от восхода до заката.
- Окраска, освещение неба над горизонтом при заходе солнца. Любоваться закатом. Рисовать, снимать з.
- Конец, исход, упадок. З. молодости. З. античной цивилизации. З. эпохи Просвещения. Золотой з. Римской империи. Жизнь близится к закату. ◊ На закате дней (жизни). В старости. На закате дней он решил жениться.
Предлог порядка (чего?) имеет разговорную стилистическую окраску.
Да, верно, хотя и следует отметить разговорную окраску этого оборота.
Правильно: для болеющих. Слово болящий имеет народно-разговорную или шутливую окраску.
В данном контексте разница стилистическая: сочетание из-за этого приобретает сниженную окраску.
Возможны оба варианта. Слово "исполнение" из-за приставки имеет более высокую стилистическую окраску.
Корректный вариант: забраться внутрь. Наречие вовнутрь носит разговорный характер, имеет сниженную стилистическую окраску.