Лучше: Устав Института неорганической химии Российской академии наук.
Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.
Это лексически избыточное сочетание.
Правильно: почетный член Императорской академии наук.
Правильно: Российская академия художеств.
Согласный Д прозносится мягко. Произношение ака[дэ]мия неправильно.
Оба варианта верны.
Запятая не нужна ни до, ни после союза и, т. к. этот союз соединяет однородные деепричастные обороты.
Лучше всего использовать такой вариант: Совет при Учреждении Российской академии наук «Вычислительный центр РАН».
