Написанные латиницей названия производственных марок не заключаются в кавычки: Я хочу себе робот-пылесос Robot Vacuum S20+.

Да, правильно: задача которой.

В «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина сказано, что обороты с предлогом наряду с обязательно обособляются при расположении между управляющим словом и управляемым. Другие нормативные руководства не столь категоричны. Так, в «Справочнике по пунктуации» В. М. Пахомова, В. В. Свинцова, И. В. Филатовой определяется, что возможно невыделение оборота, находящегося не в начале и не в конце предложения, хотя обычно такие обороты обособляются. Поэтому можно вслед за авторами этого справочника сказать, что окончательное решение принимает пишущий.

Правильно: в институте, в институт, но на факультете, на факультет.

В зависимости от интонационного рисунка фразы возможно тире в одной из двух позиций: 1) Офицер — дверь с ноги и исчезает; 2) Офицер дверь с ноги — и исчезает.

Верно без запятой: Студент, едва не получивший тройку, начал спорить с преподавателем: «Я правда читал Платона» — и попросил дать ему ещё несколько минут на ответ.

Поблагодарите сотрудника за помощь.

В данном случае корректно только слитное написание: поверните (как, а не на что) набок.

Корректно: Только как я его ни убеждал положить находку на место, он меня не послушал.

Обороты с предлогом помимо (в значении «кроме»), выполняющие в предложении функцию дополнения, обычно выделяются знаками препинания: В конце концов мы порешили, помимо шампанского, абонировать для него кресло в театре, утроить жалованье, купить ему вороных, еженедельно отправлять его за город на тройках – все это в счет Общества. (А. Чехов, Единственное средство). Однако допускается и невыделение запятыми оборотов с предлогом помимо в значении «кроме»: Категория эта кажется нам ее собственным, а не нашим, состояньем. Помимо этого состоянья все на свете названо. (Б. Пастернак, Охранная грамота). Если же оборот с предлогом помимо выступает в функции обстоятельства образа действия, то запятые не ставятся: Презирая убогого маляра, я восхищался этим единственным портретом, словно родившимся помимо желания его творца. (Б. Окуджава, Путешествие дилетантов).

Обороты с предлогом кроме выделяются знаками препинания факультативно. Как правило, оборот с предлогом кроме выделяется, если предлог можно заменить словами «исключая, не считая чего-либо»: Ничья судьба, кроме своей собственной, вас более не интересует. (М. Булгаков, Мастер и Маргарита). Запятые могут не ставиться, если предлог кроме имеет значение «дополнительно, вдобавок к чему-либо»: Достопримечательностью главной комнаты кроме рояля было громадное полотно в тяжелой позолоченной раме, написанное неизвестным художником… (Б. Окуджава, Путешествие дилетантов). Однако практика письма показывает, что и при таком значении предлога постановка запятых возможна.

Таким образом, во всех случаях окончательное решение о постановке / непостановке запятых принимает автор текста.