Во что бы то ни стало – наречие.
Это слово разговорно-просторечное.
Это предикатив, а по школьной грамматике - наречие.
Статус начальной части противо... неоднозначен. Ее характеризуют как приставку или как первую часть сложных слов, см. ресурс «Проверка слова». А. Н. Тихонов в своем «Словообразовательном словаре русского языка» включил слово противогаз только в гнездо слова газ, определяя способ образования как приставочный.
Слово «какой» в данном предложении является местоимением.
Оно эмоционально окрашено, в восклицательных предложениях употребляется для выражения эмоциональной оценки говорящим какого-л. явления, действия, субъекта (удивление, негодование, восхищение и т. п.).
Существительное сбывание многозначно, как и глагол сбывать, от которого оно образовано; см. описание значений глагола сбыть в «Большом толковом словаре русского языка» (гл. ред. С. А. Кузнецов). Это существительное в соединении со словом мечтания не приобретает однозначности, напротив, оставляет возможность вариантного толкования. Если говорящему при высказывании пожеланий по душе словесные загадки, то обсуждаемый оборот вполне годится для того, чтобы навести, как говорится, тень на плетень.
На Ваш вопрос можно ответить, воспользовавшись «Большим толковым словарем русского языка» под ред. С. А. Кузнецова. В словарной статье сколько находим значение, в котором слово употреблено в Вашем предложении, — I.2, там же указана часть речи, соответствующая данному значению, — I. местоим. нареч. (местоименное наречие).
Ошибки нет. Наименования Республика Тыва и Тува равнозначны.
В данном случае сочетание не спеша можно считать наречием.
Словари считают эту частицу разговорной.
