Фамилия Шпигель, принадлежащая мужчине, должна склоняться в соответствии с общим правилом склонения русских фамилий, оканчивающихся на ь, то есть как существительное второго склонения мужского рода: Шпигелем, Врубелем. 

Возможно слитное и раздельное написание не. Решение за автором: если он хочет подчеркнуть утверждение (несовершенство мира, неидеальность людей), напишет слитно, а если захочет подчеркнуть отрицание, напишет раздельно.

Сочетания типа врач пришла давно считаются вполне приемлемыми даже в письменной речи. Поэтому возражений против второго варианта нет. Он более вразумителен с точки зрения обозначения пола врача.

Между однородными сказуемыми находится придаточное предложение что не желает оскорблять ушей учёного немца, которое выделяется запятыми с двух сторон. Запятая перед союзом и закрывает это придаточное предложение.

В этом предложении можно выделить с двух сторон обстоятельственный оборот при рассмотрении заявления в соответствии с ФЗ и проверке представленных документов (он находится между подлежащим и сказуемым).

В предложении действительно не следует ставить два тире на разных основаниях. Можно использовать запятую на месте первого тире, а можно использовать союз или на месте второго тире.

Сочетание оскорбления окружающих можно понять двояко: ‘оскорбления со стороны окружающих’ и ‘оскорбления в адрес окружающих’. Возникает т. н. синтаксическая неоднозначность, которой следует избегать.

Если слово вовремя относится к обоим определениям, то оба они пишутся раздельно: не заполненный и не сданный. Если только ко второму, то корректно: незаполненный и не сданный вовремя...

Запятая не просто уместна, она необходима. Если заголовок состоит из двух частей, соединенных союзом или, перед союзом ставится запятая, а первое слово второго названия пишется с большой буквы.

Оба варианта имеют право на жизнь, но при чтении второго из них создается впечатление, что вопрос задается не о роде некоего слова, а о роде формы прилагательного общего.