Правильно: нефрологическое отделение для детей Климовской городской больницы № 1 (но с родовым словом: нефрологическое отделение для детей МБЛПУ «Климовская городская больница № 1»).

Владимирская – первое слово официального названия организации? Если да, то оно должно быть написано с прописной: Владимирская областная общественная организация «Ассоциация родителей детей-инвалидов "Свет"».

Да, употребимо. Например, у Куприна:

Подавай, говорит, собаку? Этак что же? Он и луну с неба захочет, так подавай ему и луну? Поди сюда, Арто, поди, моя собаченька. Ну, и денек сегодня задался. Удивительно! ― На что лучше! [А. И. Куприн. Белый пудель (1903)]

По общему правилу служебные элементы (артикли, предлоги) ван, да, де, ле и т. п., входящие в состав иноязычных фамилий, пишутся со строчной буквы. С прописной буквы эти элементы пишутся по традиции лишь в некоторых именах (например, Шарль Де Костер), написание которых проверяется по орфографическому словарю.

Да, вынуть – единственное в русском языке слово без корня. Когда-то в этом слове корень был, но утратился вследствие исторических преобразований. Слово появилось по аналогии с глаголами на -нуть (типа двинуть) на базе вынять, производного от яти  'брать' (от него же образован и глагол взять).

Форма мн. ч. слова лук ограничена в употреблении. Действительно, это луки, луков, лукам и т. д. Однако обычно эта форма заменяется словосочетаниями, в которых первое слово стоит во мн. ч., а слово лук используется в ед. ч. (сорта лука, виды лука и т. д.).

Да, слово почём в знач. 'по какой цене?' существует и употребляется. Это не «деревенское» слово, не просторечие, это разговорное слово. Разница между этими понятиями существенная: разговорная речь – часть литературного языка, просторечие же – это слова, грамматические формы, обороты речи, которые остаются за рамками литературного языка.

Ю. А. Бельчиков в справочнике «Практическая стилистика современного русского языка» (М., 2012) дает следующую рекомендацию для подобных конструкций: ставить сказуемое во мн. число, если необходимо подчеркнуть, что производителей действия было много или несколько; если нет такой необходимости, то возможно употребление сказуемого в ед. числе. 

Да, фамилия склоняется. Мужские фамилии такого типа могут склоняться двояким образом: с выпадением гласной (Саявца, Саявцу) и без выпадения гласной (Саявеца, Саявецу). Оба варианта соотвествуют грамматической норме, но лингвисты отдают предпочтение второму варианту (склонение без выпадения гласного), поскольку фамилии выполняют, помимо всего прочего, юридическую функцию.

Да, Ваша фамилия не склоняется. Мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а с предшествующей гласной, не склоняются (независимо от происхождения фамилии и от того, на какой слог падает ударение в фамилии). См., например:  Калакуцкая Л. П. Фамилии. Имена. Отчества. Написание и склонение. М., 1994.