В приведенном Вами контексте раз — числительное. Кроме того, раз может выступать в роли:

• существительного: первый раз об этом слышу;
• наречия: попробовал я раз сварить борщ — и тут...;
• союза: сделай, раз обещал;
• междометия, используемого в функции сказуемого: Раздался страшный треск, и раз – потолок обвалился. 

Орфографически правильное написание — Российский международный олимпийский университет. В составных названиях организаций с большой буквы пишется только первое слово (и имена собственные, входящие в название). 

Видимо, в документах придется писать в соответствии с уставом, но за пределами юридически значимого контекста стоит придерживаться написания по орфографическому правилу.

Если речь идет о челлендже, который является фестивалем, то это сочетание существительного и приложения, обе части которого склоняются: челленджа-фестиваля, челленджу-фестивалю и т. д. Если речь идет о фестивале челленджей (включающем в программу различные челленджи), то это сложное слово с первой несклоняемой частью: челлендж-фестиваля, челлендж-фестивалю и т. д.

Слово поке еще не описано словарями современного русского языка, поэтому говорить о правильности или неправильности того или иного варианта ударения преждевременно. В гавайском языке, из которого заимствовано слово поке, ударение стоит на первом слоге, в речи носителей русского языка наблюдается тенденция к сохранению этого варианта ударения.

Написание метал (с ударением на первом слоге) кодифицировано только в отношении сложений типа хеви-метал. В самостоятельном употреблении слово метал в норме не закреплено. В то же время у слова металл фиксируется разговорное значение 'одно из направлений в рок-музыке'. Отсюда и наименование металлист в обсуждаемом значении.

Частица только «выдает» в первой части сложного предложения восклицательное предложение с частицей не: Чего только не давали за корову-кормилицу, мы с бабушкой не соглашались. Без только часть прочитывается как уступительное придаточное с частицей ни: Чего ни давали за корову-кормилицу, мы с бабушкой не соглашались.

Двумя запятыми выделен деепричастный оборот (вторая из них к тому же поставлена перед союзом но между частями сложносочиненного предложения); запятая разделяет однородные сказуемые не просил и чернел, соединенные бессоюзной связью; запятая поставлена между однородными определениями сером и блестящем посередине от масла (первое из них одиночное, второе распространенное).

Запятая нужна, она закрывает придаточную часть. Рекомендуем, однако, заменить тире на двоеточие, поскольку вторая часть бессоюзного сложного предложения называет причину того, что сказано в первой: Но и так было ясно, что поезд вот-вот въедет в туннель: склоны по обе стороны окна, покрытые сухой травой, надвигались всё ближе.

В обоих предложениях есть несогласованные определения, выраженные инфинитивом. В первом предложении сочетание таких определении (принимать и отказаться) приобретает характер вставной конструкции, уточняя имеющееся при существительном рекомендации согласованное определение взаимоисключающие. Во втором предложении при существительном планы нет других определений, кроме посещать, поэтому оснований для постановки знаков препинания нет.

В кавычки заключаются только названия, не сочетающиеся синтаксически с родовым словом (и в таких названиях пишутся с прописной буквы первое (или единственное) слово и собственные имена), например: посетил музей «Садовое кольцо». Если синтаксическая сочетаемость присутствует, кавычки не нужны: посетил Третьяковскую галерею, посетил Русский музей.