Запятая не требуется: Остаток ночи провёл не сомкнув глаз.
Запятая не требуется.
В первом предложении запятая не нужна, во втором нужна, в третьем факультативна.
Основным принципом русской пунктуации является грамматический (формально-грамматический, синтаксический, структурный). Это значит, что знаки препинания в первую очередь отражают синтаксическую структуру высказывания. Интонационный принцип, согласно которому учитывается наличие в речи пауз, подчинен грамматическому: он может быть реализован в тех случаях, когда не противоречит основному. Если в обсуждаемом высказывании требуется подчеркнуть наличие паузы, его следует разбить на два самостоятельных предложения: Она дура? Или притворяется?
Запятая ставится (разделяет части сложного предложения).
Во втором предложении запятая не ставится. Придаточное предложение, состоящее из одного только союзного слова, не отделяется запятой.
Запятая не нужна. Запятая не ставится в сложносочиненном предложении, если его части представляют собой вопросительные предложения.
Перед союзным словом как нужна запятая: как помочь — изъяснительное придаточное.
Запятая не нужна: сочинительный союз или разделяет два вопросительных предложения.
