Да, нужно писать со строчной.
Лучше: Я купил пять баночек цветного геля.
Правильно: спасательным кругом.
Верно: Ильин. Однако это прилагательное употребляется довольно редко, обычно используют само имя в родительном падеже: (что-то) Ильи.
Рекомендации, приведенные в лингвистических источниках: День Воздушного флота России. См.: Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Прописная или строчная? – 7-е изд., перераб. и доп. М., 2005.
Однако в официальных документах все слова в этом сочетании пишутся с прописной. Например, в Указе Президента РФ от 29 августа 1997 г. N 949 «Об установлении Дня Военно-воздушных сил»: «Установить, что праздничные мероприятия, посвященные Дню Военно-воздушных сил, проводятся в День Воздушного Флота России».
Можно оформить так: Каравай, каравай, кого хочешь выбирай.
Это сочетание пишется строчными буквами.
Верно: со свежими...
Аспирант - от лат. aspirans (aspirantis) - домогающийся, стремящийся.
Верно: (приехать) из Львова.