По правилам написание должно быть слитным (см. в ответе п. 2).
Мужская фамилия Грэй должна склоняться (Грэя, Грэю), женская фамилия не склоняется.
Запятая нужна. Она должна отделить придаточную часть сложного предложения от главной.
Фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11).
Лучше переформулировать фразу, например, так: Двери лифта должны быть полностью открыты.
Мужская фамилия, заканчивающаяся на согласный, должна склоняться, поэтому правилен первый вариант.
Если заголовок набран прописными, то и наращение должно быть набрано прописными.
Фамилия Строк по действующим правилам должна склоняться, если относится к мужчине.
Прилагательное должно стоять в форме множественного числа: нам ли быть недовольными.
Фамилия Турована должна склоняться как слово карта. Дательный падеж: карте, Туроване.