Нормативные словари указывают, что у существительного икра в значении "скопление зерновидных яичек, откладываемых рыбами, амфибиями, моллюсками и другими водными животными" множественное число не употребляется. Однако у многих существительных, обозначающих абстрактные понятия – качества, свойства, действия, состояния (смелость, прямота, седина, беготня, лепет, спасение), вещества (вода, мед, чугун, сталь, нефть, крупа, мука), собирательные названия (крестьянство, воронье, детвора, листва, зелень, белье), могут образовываться формы множественного числа, но такое образование обязательно связано с теми или иными семантическими особенностями. Формы мн. ч. в этих случаях могут иметь следующие значения.
1) У вещественных существительных:
а) значение видов, сортов вещества: крупа – крупы, вино – вина, масло – масла (технические), вода – воды (например, минеральные); б) значение изделий из данного вещества: Эх, какое богатое убранство! Какие зеркала и фарфоры! (Гоголь); ...на шелка, на бархаты ложились шали, шарфы, вуали (Белый);
в) значение большого пространства, покрытого данным веществом: воды океана, пески пустыни, льды и снега Арктики; то же в областных названиях площадей под сельскохозяйственными культурами: ржи, овсы; Начали искать глазами, нельзя ли спрятаться где-нибудь в коноплях (Салтыков-Щедрин); Попадались ли нам пышные, тяжелые клевера – мы восторгались клеверами (Солоухин).
В разговорной речи при обозначении некоторого количества порций, упаковок вещества возможны сочетания вещественных существительных с количественными числительными: два кефира 'две бутылки или два пакета кефира', три молока.

Так что форма икры разнообразные хотя и не является нормативной, соответствует тенденциям в развитии русского языка. 

Мужская фамилия Пивень склоняется, при этом предпочтительно склонение без выпадения гласного: Пивеня, Пивеню и т. д.

Верно: будет пара недель. Слово пара должно стоять в форме именительного падежа.

В этом слове окончание не выделяется.

Знаки препинания расставлены верно, запятая нужна.

Это не плеоназм. Беременными могут быть животные. См., например: Священны поэтому гнезда птиц, священны беременные самки; если охотнику досталась таковая ― он обязан «отпустить ее Артемиде» (Ф. Ф. Зелинский. Древнегреческая религия).

Все перечисленные Вами слова – имена существительные.

Общеупотребительно и стилистически нейтрально: убирать в квартире. В разговорной речи вполне допустимо и убираться в квартире. О том, почему глагол убираться не нарушает грамматическую норму русского языка, см. в ответе на вопрос № 254328.