Слово розыскной закрепилось в русском языке в таком написании в 30-е годы XX века. Несмотря на то что написание через А предлагалось и в Толковом словаре под редакцией Д. Н. Ушакова (1939), и в первоначальном проекте академического «Орфографического словаря русского языка» под ред. С. И. Ожегова (1952, корректура), оно так и не вошло тогда в орфографические словари.

Сейчас написание разыскной вместо розыскной рекомендовано в качестве нормативного для устранения неоговоренного в своде 1956 г. исключения из правила написания приставки роз-/раз-. Написание этой приставки не подчиняется общему правилу употребления букв на месте безударных гласных: здесь в безударной позиции пишется буква А, хотя под ударением только О, напр.: раздать, но розданный; расписать, но роспись, разливать, но розлив. Поэтому и для слова разыскной не действует проверка словом розыск. Следует писать: разыскивать, разыскной, разыскник, оперативно-разыскной, следственно-разыскной, служебно-разыскной и т. п.

Такие формы использовать не рекомендуется. Дело в том, что поднимемся — регулярно (правильно) образованная форма буд. вр. 1 л. мн. ч. (которую можно использовать и в побудительном значении), а форма *поднимемтесь, которая отличается от первой наличием постфикса -те-, образована нерегулярно: этот постфикс употребляется с формами 2-го л. мн. ч. (поднимитесь). Получается, что одна и та же форма глагола одновременно имеет показатели как 1-го, так и 2-го лица, что системой языка не предусмотрено.

Психологически возникновение такой формы понятно, так как говорящий в этом случае обращается к собеседнику (собеседникам) с предложением осуществить действие, в котором он и сам намерен принять такое же участие, то есть он имеет в виду одновременно как раз и 1-е л. (мы поднимемся), и 2-е (вы поднимитесь со мною). И все же со строго нормативной точки зрения правильно только давайте поднимемся или просто поднимемся.

Словарная фиксация: в Клину (см. «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко). При этом вариант в Клине отнюдь не нов: его можно встретить у В. И. Даля (1839 г.) и даже в документах М. И. Кутузова (1812 г.): Предписание М. И. Кутузова вновь формируемому в Клине 10-му пехотному полку № 76. 29 августа 1812 года. С получения сего без ночлегов, но только с варением каш и отдыхами, предписываю оному полку, немедленно выступя, прибыть в Москву. Справедливости ради следует заметить, что других примеров такого употребления в Национальном корпусе русского языка не зафиксировано. 

Возможно, на распространенность варианта в Клине влияет гиперкоррекция (когда стремление говорить правильно приводит к появлению ошибочных форм): вариант в Клину может казаться говорящему менее правильным (как разговорное в отпуску при предпочтительном в отпуске). Тем не менее именно употребление в Клину соответствует строгой литературной норме.

Вопрос непростой. Если подходить к ответу исключительно формально, то следует рекомендовать не ставить тире, поскольку между подлежащим пословица и сказуемым-существительным помощница стоит дополнение всем делам. Вместе с тем этот случай отличается от иллюстрирующего правило примера Мой отец для меня друг и наставник (см. пункт 6 параграфа 15 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). В примере из справочника дополнение для меня стоит действительно между подлежащим и сказуемым, оно не связано тесно ни с тем, ни с другим; по сути это субъектный детерминант, обычная позиция которого — начало предложения, сравним: Для меня мой отец — друг и наставник. В приведенном Вами примере такое перемещение дополнения всем делам невозможно, поскольку оно связано только со сказуемым помощница, образуя с ним словосочетание. Если учесть этот факт, поставить тире вполне уместно: Пословица — всем делам помощница.

Надпись на монументе может иметь разные грамматические трактовки. Она прочитывается прежде всего как неполное предложение, построенное по схеме «кто — кому», а в таких предложениях действительно ставится тире (см. параграф 17 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Но можно увидеть в ней неполное предложение, восстанавливаемое примерно как [Этот монумент установили] березниковцы, [этот монумент посвящен] детям войны; поскольку это надпись на самом монументе, то непонимания не возникает даже при такой неполноте конструкции. Таким образом, вариант с запятой допустим.

Возможно и прочтение надписи, не требующее знаков препинания: [Этот монумент установили] березниковцы детям войны. Две части конструкции можно записать в разных строках. Сравним построенную по подобной модели надпись на монументальном конном памятнике Петру Первому, известном как Медный всадник (заметим, правда, что здесь другой порядок частей): 

ПЕТРУ ПЕРЬВОМУ
ЕКАТЕРИНА ВТОРАЯ
ЛѢТА 1782

Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.

Обычно в подобных сочетаниях главным словом является имя собственное, а приложением — согласующееся с ним имя нарицательное; поскольку в этом случае приложение находится перед определяемым словом, знаки препинания не требуются: Жена Василия Пупкина Мария Ивановна на встречу не пришла. Такой вариант принят в справочниках по русской пунктуации в качестве основного. Вариант с обособлением имени собственного приводится в параграфах, дополняющих основное правило, или в примечаниях, см., например, примечание к пункту 1 параграфа 63 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Очевидно, необходимость обособить имя собственное возникает в специфических условиях — если автор намерен логически выделить имя нарицательное, а имя собственное представить как попутную, дополнительную информацию; тогда имя собственное становится поясняющим приложением к имени нарицательному. При этом автор должен осознавать уместность такой подачи информации в широком контексте создаваемого им произведения.

Тире здесь поставлено между частями бессоюзного сложного предложения. Его первая часть представляет собой сложноподчиненное предложение с придаточным условия (с союзом если). Отношения между частями бессоюзного сложного предложения причинные: вторая часть отвечает на вопрос Почему нужно связаться с лечащим врачом? Такие отношения выражаются двоеточием, на что указано, например, в пункте 2 параграфа 129 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина; по этому правилу корректно оформление: Прекратите прием препарата и свяжитесь с лечащим врачом, если заметите любую из перечисленных нежелательных реакций: Вам может потребоваться неотложная медпомощь. Впрочем, в примечании 2 к этому параграфу говорится, что в таких случаях допустимо и употребление тире. При этом в приведенном предложении нужно поставить перед тире запятую, чтобы закрыть придаточное условия: Прекратите прием препарата и свяжитесь с лечащим врачом, если заметите любую из перечисленных нежелательных реакций, — Вам может потребоваться неотложная медпомощь.

Такого указания в справочниках нет — см. параграф 11 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя или параграф 42 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Как указано в этих источниках, наименования ученых степеней и ученых званий выступают в общем ряду как однородные приложения, поэтому между сочетаниями кандидат сельскохозяйственных наук и доцент нужно поставить запятую, тогда как остальные приложения не однородны: заведующий отделом ведущий научный сотрудник кандидат сельскохозяйственных наук, доцент Иван Иванович Иванов. Такая последовательность из четырех приложений, из которых четвертое отделено от третьего запятой, а первые не отделены друг от друга, неудобна для восприятия. Если контекст позволит, предлагаем поставить часть из этих приложений после определяемого слова; такие приложения разделяются запятыми: Заведующий отделом Иван Иванович Иванов, ведущий научный сотрудник, кандидат сельскохозяйственных наук, доцент, рассказал об исследовании. См. также ответ на вопрос 310613.

Д. Э. Розенталь по этому поводу пишет: «При двух однородных членах предложения с повторяющимся союзом и запятая не ставится, если образуется тесное смысловое единство». Он же приводит пример и родители и дети, который близок приведенному в вопросе, что может служить аргументом в пользу того, что запятую ставить не надо. Однако более удачной следует признать формулировку в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, где сказано, что при двукратном повторении союза и «при однородных членах предложения, образующих тесное смысловое единство, запятая может не ставиться». Эта формулировка оставляет известную свободу пишущему в решении весьма непростого вопроса, тесное ли смысловое единство представлено в том или ином сочетании. О том, что этот вопрос по-разному решается в отношении сочетания и дети и взрослые, свидетельствует современная практика письма: запятая здесь то ставится, то нет, причем первый вариант распространен гораздо шире.