В этом предложении сказуемое пошёл, купить — обстоятельство цели. Составного глагольного сказуемого нет, потому что вспомогательный глагол не называет ни фазу действия, ни отношение к нему субъекта.
Форма деепричастия - пиша. Она существует в языке, но употребляется несвободно.
Форма "отличнейший", действительно, употребляется. Другие формы неупотребительны.
Выковыряли.
Это наречие. Но и "след" существительного тоже есть, ср.: Холодной ночью...
Нужно написать не. В вопросительных и восклицательных предложениях частица не примыкает к местоимениям, наречиям и частицам, образуя с ними сочетания: как не, кто не, кто только не, где не, где только не, чем не, чего не, чего только не и т. п., например: Ну, как не порадеть родному человечку! (Грибоедов). Кто не проклинал станционных смотрителей, кто с ними не бранивался? (Пушкин). Чем ты не молодец? (Пушкин). Где он только не бывал! Чего он только не видал! Чем не работа! Обрыскал свет; не хочешь ли жениться? (Грибоедов).
Предпочтительно: чесменский.
Запятая нужна.
Правильно: сочинской зимней Олимпиады, сочинской Олимпиады.
