Глаголы направить и принять в приведенных контекстах употребляются в текстах официально-делового стиля, ошибки в таком употреблении нет.

Если в логотипе и на вывеске используются два слова «Клиника» и «Николаевская», то при написании следует придерживаться этого же формата: Клиника Николаевская. Это необходимо для сохранения единства и узнаваемости бренда. 

Определить, в каком падеже стоит слово – в винительном или в родительном, поможет мама. Вместо слова, которое вызывает затруднение, подставляем слово мама. У него формы винительного и родительного падежей различаются: Р. п. – нет  мамы, а В. п. – вижу маму. Подставляем: пугают путников – пугают маму. Винительный падеж. 

Ошибок в предложении нет.

мандат Неба / небесный мандат

Для корректного написания термина из китайской политической философии рекомендуется использовать форму мандат Неба с прописной буквой в слове Неба и строчной в слове мандат. Такой вариант является наиболее распространённым и общепринятым в научной и публицистической литературе по теме. Вариант небесный мандат (оба слова со строчной) также встречается, особенно в более общем, описательном контексте, но он менее точен с точки зрения традиционного понимания концепции и может восприниматься как обычное словосочетание, а не термин.

Высказывание построено корректно. Слово последний, отсылающее к слову трапеция, используется в зафиксированном в словарях значении 'такой, который был назван, упомянут после всех остальных или в конце какого-либо перечисления'. Такое употребление слова последний имеет книжный характер и преследует цель избежать повтора того или иного слова. Слово полусумма не приведено в словарях потому, что значение подобных, однотипно построенных слов с повторяющейся первой частью выводится из значения составляющих их частей, которые в словарях даны. Например, о компоненте полу- в словаре сказано, что он вносит значение  'половина чего-либо'.

Предпочтительно слитное написание.

Прилагательные с не пишется слитно, если их можно заменить близкими по значению словами без не. Такая возможность говорит о том, что не — приставка, образующая особое слово.

В тексте, обращенном к одному конкретному человеку, местоимение Вы пишется с большой буквы каждый раз, когда оно употребляется (а не только в начале).

Оба варианта корректны.