Предпочтительно раздельное написание.
Оба глагола возможны. Правда, принято говорить не писать упражнения, а выполнять (делать) упражнения.
При обозначении арабскими цифрами порядковых числительных буквенные наращения необходимы (на 35–36-й неделе), при обозначении арабскими цифрами количественных числительных буквенные наращения не нужны (с 37 недель). Подробнее см. в "Письмовнике".
Корректно со строчной: президентские тесты.
Запятая перед и не нужна.
Предпочтительно раздельное написание.
Верно: стабильность управления кораблем.
В предложении есть деепричастный оборот регулярно проделывая это упражнение. Он сообщает о том, что некое лицо выполняет упражнение. Следующая часть предложения тоже должна быть посвящена этому лицу и его действиям; ср.: человек избавится от... В Вашем предложении не соблюдено грамматическое правило употребления деепричастных оборотов.
Вы правы, это омонимичные корни.