Да, слова зря и зреть 'видеть, глядеть' этимологически родственные. Зря по происхождению – деепричастие настоящего времени от зреть (т. е. буквально зря – 'глядя'). Это слово (книжное по происхождению) получило новое значение в народной речи. Н. М. Шанский предполагает, что современное значение зря 'напрасно' возникло из оборота делать на зря 'делать на глазок, как следует не рассмотрев'.
Фамилия Цомая склоняется. Грузинские фамилии на -ия склоняемы. См. подробнее "Особенности склонения фамилий и личных имен".
Женские личные имена Ия, Лия и грузинское мужское имя Гия могут склоняться двояким образом: выдана Ие и выдана Ии, Лие и Лии, Гие и Гии.
Мягкий знак не нужен.
Возможна постановка запятой (при уточнении).
Грузинские фамилии на -ия склоняются (и мужские, и женские). Правильно: работа Александра Макацарии.
Д. п. - Марии.
Корректно: день рождения, с днем рождения. В разговорной речи возможно: день рожденья, с днем рожденья.
Можно сказать: читал книгу и пил чай.
Псевдоним, заканчивающийся на -а, склоняется (Р. п. — Мии Бойки).
