Различия есть: в предложении С учёбой (—) беда слово беда имеет значение 'плохо, скверно' и близко по функции к словам категории состояния (аналогично обстоит дело со словом засада в предложении С контрольной (—) засада), а в предложении С дедушкой (—) беда слово беда употреблено в значении 'несчастье, горе' и выполняет функцию подлежащего в эллиптическом предложении (самостоятельно употребляемом предложении с отсутствующим сказуемым). В эллиптических предложениях тире ставится при наличии паузы и не ставится при её отсутствии. Что касается случаев первого типа, то пунктуация в них не кодифицирована, но, как представляется, здесь можно действовать аналогичным образом: ставить или не ставить тире в зависимости от паузы.
Это этимологически родственные слова, исторически они восходят к одному и тому же корню. Но в современном русском языке однокоренными эти слова уже не являются.
Выбор предлога зависит от контекста. Ср.: бросить в бой, но вызвать на бой.
Верно: доселе неведомого им Бога.
Правильно: вернулся с матча, который проходил на стадионе; вернулся со стадиона, на котором проходил матч.
Корректно без кавычек: эффект боке.
Ударение на последнем слоге: эффект боке.
В зависимости от интонации следует поставить запятую или тире.
