Пол- ― корень, со словообразовательной точки зрения является результатом усечения основы производящего слова половина.
Элемент -у- в полу- является интерфиксом, подобным интерфиксам -о- и -е- в словах типа пароход, овощехранилище, большеглазый и т. п., которые в школьной практике называются соединительными гласными. Ср.: полубокс, полугодие, полумягкий и т. д.
Да, календарь, подаренный на Новый год, можно назвать новогодним. Слово "новогодний" относится ко всему, что связано с празднованием Нового года.
Кавычки нужны, пунктуация верна.
Не вполне. Здесь лучше: объединяя, чередуя и т. д.
Тире лучше поставить.
Это слово следует написать через дефис (как и другие подобные сложные слова с неизменяемой первой частью).
Вы написали верно: через дефис. По смыслу также все корректно.
Вариант упражнение номер сто шестьдесят семь корректен, так писать можно.
Запятую ставить не нужно.
